جهان بر اساس شش عدد؟!!!!!

«جهان بر اساس شش عدد»

متن زیر خلاصه مقاله پروفسور« سر مارتین ریس » یکی از پیشگامان کیهان شناسی در جهان است. وی استاد تحقیقات انجمن سلطنتی در دانشگاه کمبریج و دارای عنوان اخترشناس سلطنتی است. در عین حال وی عضو انجمن سلطنتی، آکادمی ملی علوم ایالات متحده و آکادمی علوم روسیه است. وی ضمن مشارکت با چندین همکار بین المللی ایده های بسیار مهمی در مورد سیاهچاله ها، تشکیل کهکشان ها و اخترفیزیک انرژی بالا داشته است.

شش عدد بر کل جهان حاکم است که از زمان انفجار بزرگ شکل گرفته اند. اگر هر کدام از این اعداد با مقدار فعلی آن کمی فرق داشت، هیچ ستاره، سیاره یا انسانی در جهان وجود نداشت. قوانین ریاضی عامل تحکیم ساختار جهان است. این قاعده فقط شامل اتم ها نمی شود، بلکه کهکشان ها، ستاره ها و انسان ها را نیز در برمی گیرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفی که از آنها وجود دارد و نیروهایی که آنها را به یکدیگر متصل می کند ـ عامل تعیین کننده ماهیت شیمیایی جهانی است که در آن به سر می بریم. تعداد بسیار اتم ها به نیروها و ذرات داخل آنها بستگی دارد. اجرامی را که اخترشناسان مورد بررسی قرار می دهند ـ سیارات، ستارگان و کهکشان ها ـ توسط نیروی گرانش کنترل می شوند. و همه این موارد در جهان در حال گسترشی روی می دهد که خواصش در لحظه انفجار بزرگ اولیه در آن تثبیت شده است. علم با تشخیص نظم و الگوهای موجود در طبیعت پیشرفت می کند، بنابراین پدیده های هر چه بیشتری را می توان در دسته ها و قوانین عام گنجاند. نظریه پردازان در تلاشند اساس قوانین فیزیکی را در مجموعه های منظمی از روابط و چند عدد خلاصه کنند. هنوز هم تا پایان کار راه زیادی باقیمانده است، اما پیشرفت های به دست آمده نیز چشمگیرند.

در آغاز قرن بیست و یکم، شش عدد معرفی شدند که به نظر می رسد از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند. دو تا از این اعداد به نیروهای اساسی مربوط می شوند؛ دو تای دیگر اندازه و «ساختار» نهایی جهان ما را تثبیت می کند و بیانگر آن هستند که آیا جهان برای همیشه امتداد می یابد یا خیر؛ و دو عدد باقیمانده بیانگر خواص خود فضا هستند.
این شش عدد با یکدیگر« نسخه»ای را برای جهان تشکیل می دهند. گذشته از این جهان نسبت به مقدار این شش عدد بسیار حساس است: اگر یکی از این اعداد تنظیم نشده باشد، آن وقت نه ستاره ای در جهان وجود می داشت و نه حیاتی.

آیا تنظیم این اعداد از یک حقیقت فاقد قدرت تعقل یا یک تصادف ناشی شده است یا بیانگر مشیت خالقی مهربان است؟ به نظر من هیچ کدام از آنها. ممکن است بی نهایت جهان دیگر وجود داشته باشد که اعدادشان متفاوت باشند. بسیاری از این جهان ها ممکن است عقیم یا مرده زاد باشند. ما فقط در جهانی می توانیم به وجود آییم که ترکیب «صحیحی» از اجزا باشد (و به همین دلیل است که اکنون خود را در این جهان می یابیم) درک این حقیقت چشم انداز نو و بنیادینی را در مورد جهان ما، جایگاه ما در این جهان و ماهیت قوانین فیزیکی پیش روی ما می گشاید.
این نکته بسیار حیرت انگیز است که در جهان در حال گسترشی که نقطه آغازینش آن چنان «ساده» است که فقط به وسیله چند عدد مشخص می شود، می تواند (اگر این اعداد به طور دقیق تنظیم شده باشند) به جهانی با ساختار بسیار دقیق و پیچیده، همچون جهان ما بدل شود. شاید ارتباطی بین این اعداد وجود داشته باشد. اما با این همه ما امروزه نمی توانیم مقدار سایر اعداد را با دانستن فقط یکی از آنها تعیین کنیم. فعلاً هیچ کدام از ما نمی دانیم که آیا روزی تئوری ای با نام «تئوری نهایی» (Theory of everything) به وجود می آید که بتواند رابطه ای ارائه دهد که تمام این اعداد را به هم مربوط کند، یا آنها را به نوعی با هم گرد آورد. من روی این شش عدد تاکید کرده ام، به خاطر اینکه هر کدام از این اعداد به تنهایی، نقش بسیار مهم و حیاتی را در جهان ما ایفا می کند، و با همدیگر تعیین کننده نحوه تکامل جهان و استعدادهای ذاتی آن است. از این گذشته، سه تا از این اعداد (که به جهان در مقیاس بزرگ وابسته است) به تازگی با دقت زیاد اندازه گیری شده است.

سر برآوردن حیات انسان در سیاره زمین حدود ۵/۴ 5.6 میلیارد سال به درازا کشیده است. حتی پیش از آنکه خورشید ما و سیارات گرداگرد آن تشکیل شوند، ستاره های قدیمی تر، هیدروژن را به کربن، اکسیژن و دیگر اتم های جدول تناوبی تبدیل می کردند. این فرآیند حدود ده میلیارد سال به درازا کشیده است. اندازه جهان قابل مشاهده تقریباً برابر فاصله ای است که نور بعد از انفجار بزرگ پیموده است بنابراین این جهان قابل مشاهده کنونی باید بیش از ۱۰ میلیارد سال نوری وسعت داشته باشد.

بسیاری از مناقاشات پردامنه و طولانی مباحث کیهان شناختی امروزه دیگر پایان یافته، و در مورد بسیاری از مواردی که پیش از این موضوع بحث بودند، دیگر مناظره ای صورت نمی گیرد. بسیاری از ما در اغلب موارد طرز فکرمان را تغییر داده ایم، یا حداقل خودم این کار را کرده ام. امروزه دیگر ایده های کیهان شناسی از تئوری های مربوط به زمین خودمان آسیب پذیرتر و ناپایدارتر نیستند.

زمین شناسان به این نتیجه رسیده اند که قاره های این سیاره در حال حرکت تدریجی هستند که سرعت حرکتشان تقریباً برابر سرعت رشد ناخن هاست، دیگر آنکه اروپا و آمریکای شمالی در ۲۰۰ میلیون سال قبل به یکدیگر متصل بودند. ایده شان را می پذیریم، هر چند که درک چنین گستره زمانی وسیعی بسیار مشکل است. در عین حال، حداقل خطوط کلی نحوه شکل گیری و تکامل زیست کره و بر آمدن انسان ها را باور داریم.
امروزه بسیاری از دستاوردهای کیهان شناختی به وسیله داده های معتبری تایید و تثبیت شده است. پذیرش بسیاری از دلایل تجربی موید انفجار بزرگ که ده تا پانزده میلیارد سال پیش به وقوع پیوسته، آن چنان اجتناب ناپذیر است که شواهد ارائه شده توسط زمین شناسان برای پذیرش تاریخچه سیاره مان، زمین، این تغییر موضع بسیار حیرت انگیز است:

اینشتین در یکی از مشهورترین کلمات قصار خود می گوید: «غیرقابل درک ترین چیز در مورد جهان، قابل درک بودن آن است. » وی در این عبارت بر شگفتی خود در مورد قوانین فیزیک که ذهن ما نسبتاً با آنها خو گرفته و تا حدودی با آنها آشناست تاکید می کند، قوانینی که نه فقط در روی زمین بلکه در دوردست ترین کهکشان ها هم مصداق دارد. نیوتن به ما آموخت همان نیرویی که سیب را به سمت زمین می کشد، ماه و سیارات را در مدار خود به گردش در می آورد. هم اکنون می دانیم همین نیروست که عامل تشکیل کهکشان ها است و همین نیروست که باعث می شود ستاره ها به سیاهچاله تبدیل شوند. شاید هم روزی همین نیرو است باعث رمبش (Collapse) کهکشان آندرومدای بالای سر ما شود.
اتم های موجود در دوردست ترین کهکشان ها با اتم هایی که ما در آزمایشگاه ها با آنها مواجه می شویم یکسان است. به نظر می رسد تمام اجزای جهان به شیوه یکسانی تکامل می یابند، همان طور که در آغاز هم منشا مشترکی داشتند. اگر این وحدت رویه وجود نداشت کیهان شناسی هیچ دستاوردی برای ما نداشت یا شاید هم هیچ گاه به وجود نمی آمد. پیشرفت هایی که اخیراً صورت گرفته است هر چه بیشتر توجه ما را به اسرار نوظهوری در مورد جهان، قوانین حاکم بر آن و حتی سرنوشت نهایی آن جلب می کند. این پرسش ها به کسر بسیار کوچکی از اولین ثانیه پس از انفجار بزرگ اشاره دارد، زمانی که شرایط آنچنان حادی حاکم بود که دانش فعلی فیزیک ما از درک جزئیات آن ناتوان است و درست در همین لحظه است که ماهیت زمان، تعداد ابعاد و منشاء ماده باعث سرگشتگی ما می شود.
در لحظه آغازین تشکیل جهان همه چیز چنان فشرده و شدیداً چگال است که مسائل مربوط به کیهان و دنیای خرد یکی می شوند. فضا را نمی توان به طور مشخص و دقیقی تقسیم کرد. جزئیات مربوط به این مسئله هنوز هم مثل معمایی برای ما بی جواب مانده است، اما بعضی از فیزیکدانان گمان می برند، اجزای ریزی به عنوان واحدهای فضا وجود دارند که اندازه آنها در مقیاس ده بتوان 33- سانتی متر است.
این عدد ده به توان بیست مرتبه کوچک تر از هسته اتم است: این عدد چنان کوچک است که تصور آن هم مشکل است، برای آشنایی بیشتربا ذهن می توان گفت اگر هسته اتم آنچنان بزرگ شود که وسعتی برابر یک شهر بزرگ را داشته باشد آن وقت واحد فضا برابر هسته یک اتم خواهد بود. در این صورت با مسئله جدیدی مواجه می شویم، حتی اگر چنین ساختارهای ریزی وجود داشته باشد، ماهیت آنها باید ورای درک ما از فضا و زمان باشد.


آیا مناطقی وجود دارد که نور آنها پس از گذشت ده میلیون سال یا از زمان انفجار بزرگ هنوز هم فرصت کافی نداشته است که به ما برسد؟ متأسفانه در مورد این مسئله جواب روشن و قاطعی وجود ندارد. با این همه از لحاظ نظری هیچ محدودیتی در مورد گستره جهان ما (در فضا و نسبت به زمان های آینده) و در مورد اینکه چه چیزی ممکن است در آینده های دور به چشم ما برسد، وجود ندارد. در حقیقت جهان را می توان بسیار گسترش داد. میزان گسترش آن به چند میلیون سال دورتر از حوزه قابل رویت توسط ما محدود نمی شود بلکه می توان آن را به میزان ده به توان چند میلیون سال هم گسترش داد.
اما این هم تمامی ماجرا نیست. ممکن است، جهان ما حتی اگر گسترش یافته و دورتر از افق دید فعلی ما قرار گیرد، خود عضوی از یک مجموعه بزرگ تر و نامحدود باشد. مفهوم «multivers» در مقابل «universe» ، نتیجه توسعه طبیعی تئوری های کیهان شناسی موجود است. این تئوری ها دارای اعتبارند، زیرا می توانند پدیده هایی را که مشاهده می کنیم تفسیر کنند. قوانین فیزیکی و هندسه ممکن است در جهان های دیگر متفاوت باشد. چیزی که جهان ما را از سایر جهان ها متمایز می کند ممکن است همین شش عدد باشد.

1- عدد کیهانی امگا نشان دهنده مقدار ماده ـ کهکشان ها، گازهای پراکنده و «ماده تاریک» ـ در جهان ماست. امگا اهمیت نسبی گرانش و انرژی انبساط در جهان را به ما ارائه می دهد جهانی که امگای آن بسیار بزرگ است، بایستی مدت ها پیش از این درهم فرورفته باشد، و در جهانی که امگای آن بسیار کوچک است، هیچ کهکشانی تشکیل نمی شود. تئوری تورم انفجار بزرگ می گوید، امگا باید یک باشد؛ هر چند اخترشناسان درصددند مقدار دقیق آن را اندازه بگیرند.
2- اپسیلون بیانگر آن است که هسته های اتمی با چه شدتی به یکدیگر متصل شده اند و چگونه تمامی اتم های موجود در زمین شکل گرفته اند. مقدار اپسیلون انرژی ساطع شده از خورشید را کنترل می کند و از آن حساس تر اینکه، چگونه ستارگان، هیدروژن را به تمامی اتم های جدول تناوبی تبدیل می کنند، به دلیل فرآیندهایی که در ستارگان روی می دهد، کربن و اکسیژن عناصر مهمی محسوب می شوند ولی طلا و اورانیوم کمیاب هستند. اگر مقدار اپسیلون 006/ یا 008/ بود ما وجود نداشتیم. عدد کیهانی e تولید عناصری را که باعث ایجاد حیات می شوند ـ کربن، اکسیژن، آهن و... یا سایر انواع که باعث ایجاد جهانی عقیم می شود را کنترل می کند.
3- اولین عدد مهم تعداد ابعاد فضا است. ما در جهانی سه بعدی زندگی می کنیم. اگر D برابر دو یا چهار بود امکان تشکیل حیات وجود نداشت. البته زمان را می توان بعد چهارم فرض کرد، اما باید در نظر داشت بعد چهارم از لحاظ ماهیت با سایر ابعاد تفاوت اساسی دارد چرا که این بعد همانند تیری رو به جلو است، ما فقط می توانیم به سوی آینده حرکت کنیم.
4- چرا جهان پیرامون این چنین وسیع است که در طبیعت عدد مهم و بسیار بزرگی وجود دارد. N نشان دهنده نسبت میان نیروی الکتریکی است که اتم ها را کنار یکدیگر نگاه می دارد و نیروی گرانشی میان آنهاست. اگر این عدد فقط چند صفر کمتر می داشت، فقط جهان های مینیاتوری کوچک و با طول عمر کم می توانست به وجود آید. هیچ موجود بزرگ تر از حشره نمی توانست به وجود آید و زمان کافی برای آنکه حیات هوشمند به تکامل برسد در اختیار نبود.
5- هسته اولیه تمام ساختارهای کیهانی ـ ستاره ها، کهکشان ها و خوشه های کهکشانی ـ در انفجار بزرگ اولیه تثبیت شده است. ساختار یا ماهیت جهان به عدد Q که نسبت دو انرژی بنیادین است، بستگی دارد. اگر Q کمی کوچک تر از این عدد بود جهان بدون ساختار بود و اگر Q کمی بزرگ تر بود، جهان جایی بسیار عجیب و غریب به نظر می رسید، چرا که تحت سیطره سیاهچاله ها قرار داشت.
6- اندازه گیری عدد لاندا در بین این شش عدد، مهم ترین خبر علمی سال ۱۹۹۸ بود، اگرچه مقدار دقیق آن هنوز هم در پرده ابهام قرار دارد. یک نیروی جدید نامشخص ـ نیروی «ضدگرانش» کیهانی ـ میزان انبساط جهان را کنترل می کند.
خوشبختانه عدد لاندا بسیار کوچک است. در غیر این صورت در اثر این نیرو از تشکیل ستارگان و کهکشان ها ممانعت به عمل می آمد و تکامل کیهانی حتی پیش از آنکه بتواند آغاز شود، سرکوب می شد.

روشهای حل مساله

حل مسئله از دو جنبه اهمیت دارد:

۱-از اهداف مهارتی در آموزش ریاضییات است.

۲-انجام هر فعالیت یا پاسخ دادن به سوال ها و یا تمرین های ریاضی به نوعی حل مسئله است.

مسئله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است.ودر واقع فرایند برخورد با شرایط زتدگی را حل مسئله می نامند.

دو دیدگاه در آموزش ریاضی در مورد حل مسئله

۱- ریاضی را آموزش دهیم تا به کمک آن دانش آموزان مسئله حل کنند.

۲- آموزش ریاضی را از طریق حل مسئله انجام دهیم.

معلمان ریاضی عزیز همه آگاه هستند که کتاب های ریاضی ابتدایی و راهنمایی فعلی در واقع با همان دیدگاه اول برنامه ریزی شده اند .یعنی ابتدا معلم ریاضی مفاهیم را آموزش می دهد بعد تکنیک ها و قواعد و بعد از کسب مهارت در انجام تکنیک ها تعدادی مسئله مطرح می شوند تا دانش آموز با توجه به دانش ریاضی خود به آن ها پاسخ بدهد.(همون جوری که همه مون آموزش ریاضی دیدیم)

اما در دیدگاه دوم حل مسئله در آغاز فرایند آموزش صورت می گیرد.

یعنی در واقع معلم با طرح یک مسئله و به چالش انداختن ذهن دانش آموزان شرایط برای آموزش را مهیا می کندو دانش آموز با درگیر شدن در فرآیند حل مسئله به تدریج مفهوم و با دانش مورد نظر را مرحله به مرحله تولید می کند و ضمن حل مسئله یک موضوع تازه از ریاضیات را فرا می گیرد.

 (برداشت از بلاگ خانم تشانی - دبیر ریاضی)

سلام و عرض ادب

 

قضیه ها و فرمول ها

قضیه1: اگر M_n اول باشد, n نیز باید خود اول باشد.

اثبات: فرض کنیم به ازای n مرکبی, 2ⁿ-1 اول است؛ در این صورت, می توان n را به صورت ضرب دو عدد غیر یک n = rs نوشت؛ پس:

2ⁿ -1    =     2^rs -1   =    (2^r)^s -1^s    =    (2^r -1)(…)

پس اگر s زوج باشد, طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می شود و اول نیست؛ پس به تناقض می رسیم و n باید اول باشد.

اعداد مرسن و رابطه با اعداد کامل

واضح است که اعداد مرسن به صورت 2ⁿ-1, در مبنای دو به صورت (100…0-1)₂ است که برابر (11…1)₂ است (تعداد یک ها برابر n است).

تعریف: عدد کامل عددی است که با مجموع مقسوم علیه های خود, به جز خودش, برابر باشد؛ مانند:   6=3+2+1   و      28=14+7+4+2+1

قضیه2: هر عدد کامل به صورت 2^n-1(2ⁿ-1) است که 2ⁿ-1 اول است.

پس یافتن هر عدد مرسن در واقع یافتن یک عدد کامل است و اثبات چندان سختی ندارد.

برای مثال به نمایش چهار عدد نخست کامل در مبنای دو توجه می کنیم:

1+10+11 = 110

1+10+1000+111+1110 = 11100

1+10+100+1000+10000+11111+111110+1111100+11111000 = 111110000

اگر دقت کنید, 11=1-2² , 111=1-2³ , 11111=1-2⁵ , همگی باید اول باشند؛ زیرا در غیر این صورت, خود این عدد تجزیه می شود؛ در نتیجه, تعداد مقسوم علیه های عدد کاملِ آن بیشتر شده و مجموع آن ها از خود عدد بیشتر می شود و دیگر عدد کامل نیست.

پس این ها اعداد مرسن هستند و متعاقباً توان های آن ها اول است.

پس با یافتن هر عدد کامل, می توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می شود.

این آزمایش, فوراً نشان می دهد که M_p به ازای p=11,23,83,131,179,191,239,251 مرکب است (به ترتیب با عوامل اول 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479 و 503).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی M_p  آزمایش لوکاس- لمر است:

اگر n ≡ 3 به پیمانه 4 و n اول باشد, در این صورت 2n+1 | M_n , اگر 2n+1 اول باشد. همچنین این درست است که عوامل اول 2^p-1  باید شکل 2kp+1 داشته باشند که k یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل 8n+1 یا 8n-1 را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت 1939).

یک عامل اول p از یک عدد مرسن M_q = 2^q-1 (چه اول و چه مرکب), در صورتی عدد ویفریچ اول است که p² | 2^q-1 . بنابراین, یک عدد مرسن نمی تواند عدد ویفریچ اول باشد.

نظریه ها و سؤالات حل نشده اعداد مرسن

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

ما می دانیم که تمام اعداد کامل, به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن  توانی از دو می باشد؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه طور؟

اگر این عدد یکی است, در این صورت, به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می باشد, این عدد بر حداقل هشت عدد اول بخش پذیر است و حداقل 37 عامل اول دارد (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری 300 رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از 10²⁰ دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

جواب این است که احتمالاً بله (زیرا سری هارمونیک بی نهایت است).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

یولر نشان داد که:

نظریه: اگر k>1  باشد و  p = 4k+3  اول باشد, در این صورت 2p+1 نیز اول است, اگر و تنها اگر باقی مانده تقسیم 2^p بر 2p+1 برابر 1 باشد.

همچنین اگر p = 4k+3 باشد و 2p+1 اول باشد, در این صورت عدد مرسن   2^p-1 مرکب است (و به نظر می آید که این حدس منطقی باشد که تعداد اعداد اولی که به ازای p به صورت 2p+1 باشد, بی نهایت باشد).

حدس جدید مرسن

بیتمن, سلفریج و واگستاف, حدس زیر را زده اند:

فرض کنیم p هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول - که در زیر آمده است- برقرار باشد, گزاره سوم برقرار خواهد بود:

1(     1-/+^k2 = p    یا    3-/+^k4 = p

2(     1-^p2 عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است.).

3(     3/(1+^p2) عددی اول است.

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد (که ما حدس می زنیم درست باشد.), در زمره سؤال های جواب داده نشده است (که ما جواب آن را نمی دانیم.). به راحتی می توان نشان داد که اگر مربع عدد اول p بر یک عدد مرسن تقسیم شود, در این صورت p یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع ها بر یک عدد مرسن  بخش پذیر نیستند.

اگر دنباله ای به این صورت باشد که A_p = 2^Ap-1-1   و   A₀=2, آیا همه این دنباله اول هستند؟

به قول دیکـسون کاتـالان, در پاسخ این سؤال در سال 1876, به لوکاس اظهـار داشــت که 2¹²⁷-1 (A₄), به این ترتیب اول است.

این اعداد در این دنباله خیلی سریع, بزرگ می شوند:

C0 = 2                (اول)

C1 = 3                (اول)

C2 = 7                (اول)

 C3 = 127            (اول)

C4 = 170141183460469231731687303715884105727        (اول)

C5 > 10^{51217599719369681879879723386331576246}      (آیا این عدد اول است؟)

به نظر می آید احتمال این خیلی کم باشد که A₅ (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشد؛ به طوری که به مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» جُوی, شک نمی رود. توجه داشته باشید که اگر یک عدد زوج و مرکب در این دنباله پیدا شود, طبق نظریه اول, تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود. (لاندن کورت نول به من گفت که او از برنامه اش استفاده می کند تا جست و جو کند که A₅, مقسومٌ علیه اول کوچک تر از 10⁵¹ دارد یا نه.)

عدد مرسن چیست؟

اعداد به شکل M_n=2ⁿ-1 که اول باشند, عدد مرسن می گویند.

اولین اعداد مرسن کوچک عبارتند از: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 2147483647 و ... که متناظر هستند با ... ,89 ,61 ,31 ,19 ,17 ,13 ,7 ,5 ,3 ,2 =n

اعداد مرسن ابتدا به خاطر خواص قابل توجهشان مطالعه می شدند که این بود که هر عدد مرسن با یک عدد کامل رابطه داشت. وِلش یک تاریخچه بزرگ اعداد مرسن را نگه داری کرد.

حدس زده شده است که اعداد مرسن نامتناهی هستند.

در نمودار اعداد مرسن M_p با p ≤ ln x, خطی که از بین نقاط می گذرد, بهترین خط تقریبی را با ln x 409/2 به ما می دهد. اگر خط محدود به گذشتن از میان نقاط نمودار نشد, بهترین نمودار, ln x (03/0±50/2) + (31/0±10/1-) هست.

 تاریخچه

پیداکردن اعداد مرسن, با اشتباهات در محاسبه, بسیار چالش انگیز است. برای مثال, کشف سال 1963 که 2¹¹²¹³-1 اول است, به وسیله بسته های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا, ایلینیوس اعلام شد.

وُلتمن, یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت را برپا کرد که به GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و هر یک از صدها داوطلب آن, از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن گوشه ای از تحقیقات استفاده می کنند. در 17 نوامبر 2003, یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این کشف, پس از آن تأیید شد. تقریباً شش ماه پس از آن, کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه اعلام شد. چهل و دومین عدد ناشناخته مرسن نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد و توان آن در 26 فوریه منتشر شد. تلاش های داوطلبان GIMPS, این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت, تا فوریه 2005, شرکت کنندگان GIMPS, تمام توان های زیر 9,889,900 را امتحان کرده بودند و دو بار چک کرده بودند و همه توان های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کرده بودند